lunes, 26 de julio de 2010

Introducción: 
Los cuadrados mágicos han fascinado a la gente durante muchísimos años y son bien conocidos por todos los aficionados a los juegos matemáticos. Son grillas de n x n en la que se colocan n2  números de forma tal que todas las columnas, filas y diagonales sumen lo mismo. A la suma se la llama constante mágica.
Los que no son tan conocidos son los cuadrados alfamágicos. Estos fueron ideados por Lee Sallows  de la Universidad de Nijmegen de Holanda en 1986. Un cuadrado alfamágico es un cuadrado mágico en el que si tomamos la cantidad de letras de los nombres de cada número de dicho cuadrado mágico y los colocamos en otro cuadrado generamos a su vez otro cuadrado mágico

Sallows, L. C. F. "Alphamagic squares." Abacus 4 (No. 1): 28-45, 1986.
Sallows, L. C. F. "Alphamagic squares, part II". Abacus 4 (No. 2): 20-29, 43, 1987

Por ejemplo en inglés :


5
(five)
22
(twenty-two)
18
(eighteen)
28
(twenty-eight)
15
(fifteen)
2
(two)
12
(twelve)
8
(eight)
25
(twenty-five)

Que genera el siguiente cuadrado mágico :


4
9
8
11
7
3
6
5
10

Existen muchísimos cuadrados alfamágicos en muchísimos idiomas y de varios ordenes. En español habían aparecido ya en la revista El Acertijo que actualmente se puede leer online gracias al gran trabajo de Markelo. En el siguiente link del El Acertijo 5 página 12 aparecen unas soluciones dadas por Roberto Pozzi para cuadrados alfamágicos de orden tres, cuatro y cinco en español.
La solución que aparece en la revista para el de orden tres es un cuadrado alfamágico en el que el segundo cuadrado si bien es mágico tiene números repetidos. Yo busqué cuadrados alfamágicos que no tuvieran números repetidos
Cuadrados alfamágicos con números consecutivos:
En muchos libros y revistas toman como válidos solo a los cuadrados mágicos que tienen números consecutivos, aquí están los que encontré en español (que si bien el primer cuadrado no tiene números consecutivos, si los tiene el segundo ):

A)

2281
Dos mil doscientos ochenta y uno
241
Doscientos cuarenta y uno
1321
Mil trescientos veintiuno
321
Trescientos veintiuno
1281
Doscientos ochenta y uno
2241
Dos mil doscientos cuarenta y uno
1241
Mil doscientos cuarenta y uno
2321
Dos mil trescientos veintiuno
281
Doscientos ochenta y uno



27
22
23
20
24
28
25
26
21


B)

2581
Dos mil quinientos ochenta y uno
241
Doscientos cuarenta y uno
1921
.Mil novecientos veintiuno
921
Novecientos veintiuno
1581
Mil quinientos ochenta y uno
2241
Dos mil doscientos cuarenta y uno
1241
Mil doscientos cuarenta y uno
2921
Dos mil novecientos veintiuno
581
Quinientos ochenta y uno


27
22
23
20
24
28
25
26
21

C)


2571
Dos mil quinientos setenta y uno
421
Cuatrocientos veintiuno
1721
Mil setecientos veintiuno
721
Setecientos veintiuno
1571
Mil quinientos setenta y uno
2421
Dos mil cuatrocientos veintiuno
1421
Mil cuatrocientos veintiuno
2721
Dos mil setecientos veintiuno
571
Quinientos setenta y uno



27
22
23
20
24
28
25
26
21

D)


2761
Dos mil setecientos sesenta y uno
581
Quinientos ochenta y uno
1941
Mil novecientos cuarenta y uno
941
Novecientos cuarenta y uno
1761
Mil setecientos sesenta y uno
2581
Dos mil quinientos ochenta y uno
1581
Mil quinientos ochenta y uno
2941
Dos mil novecientos cuarenta y uno
761
Setecientos sesenta y uno



28
21
26
 23
25
27
 24
29
22

E)


2641
Dos mil seiscientos cuarenta y uno
331
Trescientos treinta y uno
1951
Mil novecientos cincuenta y uno
951
Novecientos cincuenta y uno
1641
Mil seiscientos cuarenta y uno
2331
Dos mil trescientos treinta y uno
1331
Mil trescientos treinta y uno
2951
Dos mil novecientos cincuenta y uno
641
Seiscientos cuarenta y uno



29
22
27
 24
26
28
 25
30
23

Como todos los primeros cuadrados presentan la particularidad de que todos sus números terminan en uno, podemos generar a partir de estos otros cuadrados alfamágicos cambiando solamente el último dígito de cada uno de los números (Teniendo en cuenta que el largo de uno=dos, tres = seis = ocho, cinco = siete = nueve) Otra forma de generar mas cuadrados alfamágicos a partir de una solución es sumar a cada uno de los números múltiplos de por ejemplo un millón que suman la misma cantidad de letras a cada número. Al final doy unos ejemplos
Aquí van otros ejemplos de cuadrados alfamágicos que tanto el primer como el segundo cuadrado tienen números distintos en español:
A)


95
Noventa y cinco
156
Ciento cincuenta y seis
124
Ciento veinticuatro
154
Ciento cincuenta y cuatro
125
Ciento veinticinco
93
Noventa y seis
126
Ciento veintiséis
94
Noventa y cuatro
155
Ciento cincuenta y cinco


13
20
18
22
17
12
16
14
21
------------------------------------------------------------------------------------------------------------


153
Ciento cincuenta y tres
91
Noventa y uno
125
Ciento veinticinco
95
Noventa y cinco
123
Ciento veintitrés
151
Ciento cincuenta y uno
121
Ciento veintiuno
155
Ciento cincuenta y cinco
93
Noventa y tres



20
11
17
 13
16
19
 15
21
12
------------------------------------------------------------------------------------------------------------

255
Doscientos cincuenta y cinco
94
Noventa y cuatro
176
Ciento setenta y seis
96
Noventa y seis
175
Ciento setenta y cinco
254
Doscientos cincuenta y cuatro
174
Ciento setenta y cuatro
256
Doscientos cincuenta y seis
95
Noventa y cinco



25
14
18
 12
19
26
 20
24
13
------------------------------------------------------------------------------------------------------------



225
Doscientos cincuenta y cinco
74
Setenta y cuatro
166
Ciento sesenta y seis
76
Setenta y seis
165
Ciento sesenta y cinco
254
Doscientos cincuenta y cuatro
164
Ciento sesenta y cuatro
256
Doscientos cincuenta y seis
75
Setenta y cinco



25
14
18
 12
19
26
 20
24
13
------------------------------------------------------------------------------------------------------------

275
Doscientos setenta y cinco
54
Cincuenta y cuatro
166
Ciento sesenta y seis
56
Cincuenta y seis
165
Ciento sesenta y cinco
274
Doscientos setenta y cuatro
164
Ciento sesenta y cuatro
276
Doscientos setenta y seis
55
Cincuenta y cinco



23
16
18
 14
19
24
 20
22
15
------------------------------------------------------------------------------------------------------------


295
Doscientos noventa y cinco
54
Cincuenta y cuatro
176
Ciento setenta y seis
56
Cincuenta y seis
175
Ciento setenta y cinco
294
Doscientos noventa y cuatro
174
Ciento setenta y cuatro
296
Doscientos noventa y seis
55
Cincuenta y cinco
 
 

23
16
18
 14
19
24
 20
22
15

Cuadrados alfamágicos múltiples:
Una idea interesante es buscar un cuadrado alfamágico en el que el segundo cuadrado genere al tomar la cantidad de letras de los nombres de sus números otro cuadrado mágico.
Por ahora lo único que pude obtener de este tipo son los siguientes ejemplos en los que el segundo cuadrado no tiene todas las cifras distintas
Primer cuadrado:



347
Trescientos cuarenta y siete
225
Doscientos veinticinco
289
Doscientos ochenta y nueve
229
Doscientos veintinueve
287
Doscientos ochenta y siete
345
Trescientos cuarenta y cinco
285
Doscientos ochenta y cinco
349
Trescientos cuarenta y nueve
227
Doscientos veintisiete

Segundo cuadrado


25
Veinticinco
21
Veintiuno
23
Veintitrés
21
Veintiuno
23
Veintitrés
25
Veinticinco
23
Veintitrés
25
Veinticinco
21
Veintiuno

Tercer cuadrado


 11
9
10
 9
10
11
 10
11
9
-----------------------------------------------------
Primer Cuadrado



847
Ochocientos cuarenta y siete
225
Doscientos veinticinco
539
Quinientos treinta y nueve
229
Doscientos veintinueve
537
Quinientos treinta y siete
845
Ochocientos cuarenta y cinco
535
Quinientos treinta y cinco
849
Ochocientos cuarenta y nueve
227
Doscientos veintisiete

Segundo cuadrado


25
veinticinco
21
veintiuno
23
veintitrés
21
veintiuno
23
veintitrés
25
veinticinco
23
veintitrés
25
veinticinco
21
veintiuno

Tercer cuadrado


11
9
10
 9
10
11
 10
11
9

 Primer cuadrado


460
Cuatrocientos sesenta
234
Doscientos treinta y cuatro
392
Trescientos noventa y dos
294
Doscientos noventa y cuatro
362
Trescientos sesenta y dos
430
Cuatrocientos treinta
332
Trescientos treinta y dos
490
Cuatrocientos noventa
264
Doscientos sesenta y cuatro

Segundo cuadrado

20
veinte
24
veinticuatro
22
veintidós
24
veinticuatro
22
veintidós
20
veinte
22
veintidós
20
veinte
24
veinticuatro

Tercer cuadrado


6
12
9
 12
9
6
 9
6
12

Estos últimos ejemplos son de cuadrados alfamágicos en los cuales el segundo cuadro tiene números que tienen todos la misma cantidad de letras :


97
Noventa y siete
75
Setenta y cinco
89
Ochenta y nueve
79
Setenta y nueve
87
Ochenta y siete
95
Noventa y cinco
85
Ochenta y cinco
99
Noventa y nueve
77
Setenta y siete



13
13
13
 13
13
13
 13
13
13

y


87
Ochenta y siete
65
Sesenta y cinco
79
Setenta y nueve
69
Sesenta y nueve
77
Setenta y siete
85
Ochenta y cinco
75
Setenta y cinco
89
Ochenta y nueve
67
Sesenta y siete



13
13
13
 13
13
13
 13
13
13

y



97
Noventa y siete
35
Treinta y cinco
69
Sesenta y nueve
39
Treinta y nueve
67
Sesenta y siete
95
Noventa y cinco
65
Sesenta y cinco
99
Noventa y nueve
37
Treinta y siete


 13
13
13
 13
13
13
 13
13
13

En los siguientes ejemplos vemos como a partir de un cuadrado alfamágico cuyo segundo cuadrado tiene todas cifras iguales podemos generar cientos de nuevos cuadrados sumándole a cada número un múltiplo de 1000 . :


735
Setecientos treinta y cinco
879
Ochocientos setenta y nueve
897
Ochocientos noventa y siete
999
Novecientos noventa y nueve
837
Ochocientos treinta y siete
675
Seiscientos setenta y cinco
777
Setecientos setenta y siete
795
Setecientos noventa y cinco
939
Novecientos treinta y nueve



24
24
24
 24
24
24
 24
24
24

Mas 1000 (Mil = largo 3 )


1735
Mil setecientos treinta y cinco
1879
Mil ochocientos setenta y nueve
1897
Mil ochocientos noventa y siete
1999
Mil novecientos noventa y nueve
1837
Mil ochocientos treinta y siete
1675
Mil seiscientos setenta y cinco
1777
Mil setecientos setenta y siete
1795
Mil setecientos noventa y cinco
1939
Mil novecientos treinta y nueve



27
27
27
 27
27
27
 27
27
27

Mas dos mil (largo 6 ) 


2735
Dos mil setecientos treinta y cinco
2879
Dos mil ochocientos setenta y nueve
2897
Dos mil ochocientos noventa y siete
2999
Dos mil novecientos noventa y nueve
2837
Dos mil ochocientos treinta y siete
2675
Dos mil seiscientos setenta y cinco
2777
Dos mil setecientos setenta y siete
2795
Dos mil setecientos noventa y cinco
2939
Dos mil novecientos treinta y nueve



30
30
30
 30
30
30
 30
30
30

Mas tres mil (largo = 7 )


3735
Tres mil setecientos treinta y cinco
3879
Tres mil ochocientos setenta y nueve
3897
Tres mil ochocientos noventa y siete
3999
Tres mil novecientos noventa y nueve
3837
Tres mil ochocientos treinta y siete
3675
Tres mil seiscientos setenta y cinco
3777
Tres mil setecientos setenta y siete
3795
Tres mil setecientos noventa y cinco
3939
Tres mil novecientos treinta y nueve



31
31
31
 31
31
31
 31
31
31

Y así sucesivamente.
Se aceptan nuevos cuadrados alfamagicos,,,